Question

【題目】已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足，，，，恰為等比數(shù)列的前3項．

（1）求數(shù)列，的通項公式；

（2）求數(shù)列的前項和為；若對均滿足，求整數(shù)的最大值；

（3）是否存在數(shù)列滿足等式成立，若存在，求出數(shù)列的通項公式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），（2），的最大整數(shù)是673．（3）存在，

【解析】

（1）由可得（），然后把這兩個等式相減，化簡得，公差為1，因為，，為等比數(shù)列，所以，化簡計算得，，從而得到數(shù)列的通項公式，再計算出 ，，，從而可求出數(shù)列的通項公式；

（2）令，化簡計算得，從而可得數(shù)列是遞增的，所以只要的最小值大于即可，而的最小值為，所以可得答案；

（3）由題意可知，，

即，這個可看成一個數(shù)列的前項和，再寫出其前（）項和，兩式相減得，，利用同樣的方法可得.

解：（1）由題，當時，，即

當時， ① ②

①-②得，整理得，又因為各項均為正數(shù)的數(shù)列．

故是從第二項的等差數(shù)列，公差為1．

又恰為等比數(shù)列的前3項，

故，解得．又，

故，因為也成立．

故是以為首項，1為公差的等差數(shù)列．故．

即2，4，8恰為等比數(shù)列的前3項，故是以為首項，公比為的等比數(shù)列，

故．綜上，

（2）令，則

所以數(shù)列是遞增的，

若對均滿足，只要的最小值大于即可

因為的最小值為，

所以，所以的最大整數(shù)是673．

（3）由，得

，

③

④

③-④得， ⑤，

⑥

⑤-⑥得，，

所以存在這樣的數(shù)列，