Question

【題目】已知函數(shù)，且在區(qū)間上的最大值比最小值大．

（1）求的值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間的最小值是，求實(shí)數(shù)的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）分和兩種情況討論，分析出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，可得出該函數(shù)的最大值和最小值，再結(jié)合題中條件得出關(guān)于的方程，解出即可；

（2）設(shè)，利用單調(diào)性的定義證明出函數(shù)在上為增函數(shù)，可得出，可得出，并構(gòu)造函數(shù)，對(duì)參數(shù)分類討論，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，得出該函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合最小值為可求出實(shí)數(shù)的值.

（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

則該函數(shù)的最大值為，最小值為，

由題意得，解得，或（舍去）；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

則該函數(shù)的最大值為，最小值為，

由題意得，即，該方程無實(shí)數(shù)解．

綜上；

（2）函數(shù)，

令，，任取，

因，

，所以，有，，所以．

則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故．

令，因此，，所以問題轉(zhuǎn)化為：

函數(shù)在上有最小值，求實(shí)數(shù)的值．

因，對(duì)稱軸方程為，

當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

故，由，解得與矛盾；

當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，

由，解得或（舍去）.

綜上，．