Question

【題目】已知中心在坐標原點的橢圓經過點，且點為其右焦點.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）是否存在平行于的直線，使得直線與橢圓有公共點，且直線與的距離等于4？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)不存在．

【解析】

試題分析：(Ⅰ)設出橢圓的標準方程，利用橢圓的定義和焦點坐標求出有關參數值，進而得到橢圓的標準方程；(Ⅱ)先假設存在符合題意的直線，并設出直線方程，聯立直線與橢圓的方程，得到關于的一元二次方程，利用判別式為正和點到直線的距離公式進行求解．

試題解析：（Ⅰ）依題意，可設橢圓的方程為，且可知左焦點為，

從而有，解得，又，∴.

故橢圓的標準方程為.

（Ⅱ）假設存在符合題意的直線，其方程為.

由得.

∵直線與橢圓有公共點，∴，解得.

另一方面，直線與的距離等于4，可得，從而.

由于，∴符合題意的直線不存在.