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【題目】已知向量 ， ,函數的圖象過點，點與其相鄰的最高點的距離為.

（1）求的單調遞增區(qū)間；

（2）計算；

（3）設函數，試討論函數在區(qū)間上的零點個數.

【答案】(1) .(2) 2018. (3)當或時，函數在上無零點；當或時，函數在上有一個零點；當時，函數在有兩個零點.

【解析】試題分析：(1)根據平面向量數量積的坐標表示、二倍角公式和與輔助角公式可得,根據的圖象過點，點與其相鄰的最高點的距離為，確定，從而根據正弦函數的單調性可得結果;(2)根據特殊角的三角函數及周期性可得結果；（3）,函數在區(qū)間上的零點個數，即為函數的圖象與直線在上的交點個數.在同一直角坐標系內作出這兩個函數的圖象，幾何圖形可得結果.

試題解析：(1) 向量， ， 點為函數圖象上的一個最高點， 點與其相鄰的最高點的距離為， ， 函數圖象過點， ， ， ，由，得， 的單調增區(qū)間是.

(2) 由（1）知的周期為，且， ，而.

(3) ,函數在區(qū)間上的零點個數，即為函數的圖象與直線在上的交點個數.在同一直角坐標系內作出這兩個函數的圖象如圖所示，

由圖象可知，①當或時，函數的圖象與直線在上的無公共點，即函數無零點；②當與時，函數的圖象與直線在上有一個公共點，即函數有一個零點；③當時，函數的圖象與直線在上有兩個公共點，即函數有兩個零點，綜上，當或時，函數在上無零點；當或時，函數在上有一個零點；當時，函數在有兩個零點.

練習冊系列答案
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【題目】設函數.

（Ⅰ）若在處的切線與直線平行，求的值；

（Ⅱ）討論函數的單調區(qū)間；

（Ⅲ）若函數的圖象與x軸交于A，B兩點，線段AB中點的橫坐標為，證明.

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【題目】(本題滿分15分)已知橢圓：過點，離心率為.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）設分別為橢圓的左、右焦點，過的直線與橢圓交于不同兩點，記的內切圓的面積為，求當取最大值時直線的方程，并求出最大值．

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【題目】已知．

（1）當為常數，且在區(qū)間變化時，求的最小值；

（2）證明：對任意的，總存在，使得 ．

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【題目】如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形， 為的中點.

(1)求證： 平面；

(2)若四邊形是正方形，且，求直線與平面所成角的正弦值.

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【題目】某商店為了更好地規(guī)劃某種商品進貨的量，該商店從某一年的銷售數據中，隨機抽取了組數據作為研究對象，如下圖所示（（噸）為該商品進貨量， （天）為銷售天數）：

（Ⅰ）根據上表數據在下列網格中繪制散點圖：

（Ⅱ）根據上表提供的數據，求出關于的線性回歸方程；

（Ⅲ）根據（Ⅱ）中的計算結果，若該商店準備一次性進貨該商品噸，預測需要銷售天數；

參考公式和數據：

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【題目】在對人們休閑方式的一次調查中，共調查了124人，其中女性70人，男性54人，女性中有43人主要的休閑方式是看電視，另外27人主要的休閑方式是運動；男性中有21人主要的休閑方式是看電視，另外33人主要的休閑方式是運動．

（Ⅰ）根據以上數據建立一個2×2列聯(lián)表；

（Ⅱ）能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為性別與休閑方式有關系？

附：

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【題目】已知點，點在軸上，點在軸的正半軸上，點在直線上，且滿足

（Ⅰ）當點在軸上移動時，求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）過點做直線與軌跡交于兩點，若在軸上存在一點，使得是以點為直角頂點的直角三角形，求直線的斜率的取值范圍.

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【題目】已知橢圓的離心率為，以為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知點，和平面內一點，過點任作直線與橢圓相交于兩點，設直線的斜率分別為，，試求滿足的關系式.

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