【題目】在△ABC中,角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別是a,b,c且cos2B+3cosB﹣1=0.
(1)求角B的大小;
(2)若a+c=1,求b的最小值.
【答案】解:(1)在△ABC中,∵cos2B+3cosB﹣1=0,
∴2cos2B+3cosB﹣2=0,
∴cosB=或cosB=﹣2(舍去),
∴B=.
(2)∵a+c=1,由余弦定理,得b2=a2+c2﹣2accosB=(a+c)2﹣3ac=1﹣3a(1﹣a)=3a2﹣3a+1,其中0<a<1,
∵f(a)=3a2﹣3a+1在上遞減,在
上遞增,
∴,又0<b<1,
∴.
【解析】(1)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知可得2cos2B+3cosB﹣2=0,解得cosB,從而可求B的值.
(2)由已知及余弦定理可得b2=3a2﹣3a+1,其中0<a<1,由于二次函數(shù)f(a)=3a2﹣3a+1在上遞減,在
上遞增,從而可求b2的最小值,進(jìn)而得解b的最小值.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用余弦定理的定義,掌握余弦定理:;
;
即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】現(xiàn)有甲乙兩船,其中甲船在某島B的正南方A處,A與B相距7公里,甲船自A處以4公里/小時(shí)的速度向北方向航行,同時(shí)乙船以6公里/小時(shí)的速度自B島出發(fā),向北60°西方向航行,問(wèn)分鐘后兩船相距最近.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在
處的切線方程為
.
(1)求的值;
(2)若對(duì)任意的,都有
成立,求
的取值范圍;
(3)若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為
,試判斷
的正負(fù),并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a、b、c,已知
(Ⅰ)求角A的大;
(Ⅱ)若b=3,△ABC的面積為 ,求a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn , 已知(a2﹣2)3+2013(a2﹣2)=sin ,(a2013﹣2)3+2013(a2013﹣2)=cos
,則S2014= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖 ,在四棱錐中,
,
,
為棱
的中點(diǎn),
.
(1)證明: 平面
;
(2)若二面角的大小為
,求直線
與平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在
處取得極小值.
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)設(shè),其導(dǎo)函數(shù)為
,若
的圖象交
軸于兩點(diǎn)
且
,設(shè)線段
的中點(diǎn)為
,試問(wèn)
是否為
的根?說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)直線l:3x+4y+4=0,圓C:(x﹣2)2+y2=r2(r>0),若圓C上存在兩點(diǎn)P,Q,直線l上存在一點(diǎn)M,使得∠PMQ=90°,則r的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)在區(qū)間
上的單調(diào)性;
(2)已知函數(shù),若
,且函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)有零點(diǎn),求
的取值范圍.
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