【題目】已知是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列,該數(shù)列前
項(xiàng)的最大值記為
,第
項(xiàng)之后各項(xiàng)
,
,
的最小值記為
,
.
(I)若為
,
,
,
,
,
,
,
,
,是一個(gè)周期為
的數(shù)列(即對任意
,
),寫出
,
,
,
的值.
(II)設(shè)是正整數(shù),證明:
的充分必要條件為
是公比為
的等比數(shù)列.
(III)證明:若,
,則
的項(xiàng)只能是
或者
,且有無窮多項(xiàng)為
.
【答案】(I),
;(II)見解析;(III)見解析.
【解析】試題分析:(I)根據(jù)已知給出的的定義,直接求出
,
,
,
的值.
(II)分別證明充分性和必要性。充分性:由條件是公比為
的等比數(shù)列且
為正整數(shù),推導(dǎo)結(jié)論
;必要性:由結(jié)論推導(dǎo)條件。
(III)本問采用反證法,假設(shè)中存在大于
的項(xiàng),推導(dǎo)出矛盾。即可得到假設(shè)不成立,故
中沒有大于2的項(xiàng),又由于
是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列,故
中只可能是1和2.然后再進(jìn)一步證明數(shù)列中存在無窮多個(gè)1.
試題解析:(I)由題知,在中,
,
,
,
∴,
,
(II)證明:
充分性:∵是公比為
的等比數(shù)列且
為正整數(shù),
∴,
∴,
,
∴,(
,
,
).
必要性:∵,(
,
,
),
∴,
又∵,
,
∴,
∴,
,
∴,
∴為公比為
的等比數(shù)列.
(III)∵,
,
∴,
,
∴對任意,
,
假設(shè)中存在大于
的項(xiàng),
設(shè)為滿足
的最小正整數(shù),
則,對任意
,
,
又∵,∴
且
,
∴,
,
,
故與
矛盾,
∴對于任意,有
,
即非負(fù)整數(shù)列各項(xiàng)只能為
或
.
年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了讓貧困地區(qū)的孩子們過一個(gè)溫暖的冬天,某校陽光志愿者社團(tuán)組織“這個(gè)冬天不再冷”冬衣募捐活動(dòng),共有50名志愿者參與.志愿者的工作內(nèi)容有兩項(xiàng):①到各班做宣傳,倡議同學(xué)們積極捐獻(xiàn)冬衣;②整理、打包募捐上來的衣物.每位志愿者根據(jù)自身實(shí)際情況,只參與其中的某一項(xiàng)工作.相關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示:
(1)如果用分層抽樣的方法從參與兩項(xiàng)工作的志愿者中抽取5人,再從這5人中選2人,那么“至少有1人是參與班級宣傳的志愿者”的概率是多少?
(2)若參與班級宣傳的志愿者中有12名男生,8名女生,從中選出2名志愿者,用表示所選志愿者中的女生人數(shù),寫出隨機(jī)變量
的分布列及數(shù)學(xué)期望.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(
為實(shí)常數(shù)).
(Ⅰ)若為
的極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
(Ⅱ)討論函數(shù)在
上的單調(diào)性.
(Ⅲ)若存在,使得
成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年來許多地市空氣污染較為嚴(yán)重,現(xiàn)隨機(jī)抽取某市一年(365天)內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)(
)的監(jiān)測數(shù)據(jù),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表:
| ||||||
空氣質(zhì)量 | 優(yōu) | 良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 嚴(yán)重污染 |
天數(shù) | 4 | 13 | 18 | 30 | 20 | 15 |
記某企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟(jì)損失為(單位:元),
指數(shù)為
.當(dāng)
在區(qū)間
內(nèi)時(shí),對企業(yè)沒有造成經(jīng)濟(jì)損失;當(dāng)
在區(qū)間
內(nèi)時(shí),對企業(yè)造成的經(jīng)濟(jì)損失與
成直線模型(當(dāng)
指數(shù)為150時(shí),造成的經(jīng)濟(jì)損失為1100元,當(dāng)
指數(shù)為200時(shí),造成的經(jīng)濟(jì)損失為1400元);當(dāng)
指數(shù)大于300時(shí),造成的經(jīng)濟(jì)損失為2000元.
(1)試寫出的表達(dá)式;
(2)試估計(jì)在本年內(nèi)隨機(jī)抽取1天,該天經(jīng)濟(jì)損失大于1100且不超過1700元的概率;
(3)若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季,這30天中有8天為嚴(yán)重污染,完成列聯(lián)表,并判斷是否有
的把握認(rèn)為該市本年度空氣嚴(yán)重污染與供暖有關(guān)?
非嚴(yán)重污染 | 嚴(yán)重污染 | 合計(jì) | |
供暖季 | |||
非供暖季 | |||
合計(jì) |
附:
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
,其中
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(Ⅰ)求證:當(dāng)時(shí),
;
(Ⅱ)若函數(shù)在(1,+∞)上有唯一零點(diǎn),求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(Ⅰ)求曲線在
處的切線方程.
(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間.
(Ⅲ)設(shè),其中
,證明:函數(shù)
僅有一個(gè)零點(diǎn).
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中
(Ⅰ)若函數(shù)存在相同的零點(diǎn),求
的值;
(Ⅱ)若存在兩個(gè)正整數(shù),當(dāng)
時(shí),有
與
同時(shí)成立,求
的最大值及
取最大值時(shí)
的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足
,
,其中
.
(1)設(shè),求證:數(shù)列
是等差數(shù)列,并求出
的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
,是否存在正整數(shù)
,使得
對于
恒成立,若存在,求出
的最小值,若不存在,請說明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com