【題目】已知函數(shù),
.
(Ⅰ)求證:當(dāng)時(shí),
;
(Ⅱ)若函數(shù)在(1,+∞)上有唯一零點(diǎn),求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)(0,1)
【解析】試題分析:(Ⅰ)求導(dǎo),得
,分析單調(diào)性得當(dāng)
時(shí),
即得證;(Ⅱ)
對t進(jìn)行討論①
,
在[1,+∞)上是增函數(shù),所以當(dāng)
時(shí),
,所以
在(1,+∞)上沒有零點(diǎn),②若
,
在[1,+∞)上是減函數(shù),所以當(dāng)
時(shí),
,所以
在(1,+∞)上沒有零點(diǎn),③若0<t<1時(shí)分析單調(diào)性借助于第一問,找到
,則當(dāng)
時(shí)
,即
成立;取
,則當(dāng)
時(shí),
,即
,說明存在
,使得
,即存在唯一零點(diǎn);
試題解析:
(Ⅰ)由,得
.
當(dāng)變化時(shí),
與
的變化情況如下表:
x | (0,4) | 4 | (4,+∞) |
+ | 0 | - | |
所以當(dāng)時(shí),
;
(Ⅱ)
①若,則當(dāng)
時(shí),
,所以
在[1,+∞)上是增函數(shù),
所以當(dāng)時(shí),
,所以
在(1,+∞)上沒有零點(diǎn),所以
不滿足條件.
②若,則當(dāng)
時(shí),
,所以
在[1,+∞)上是減函數(shù),
所以當(dāng)時(shí),
,所以
在(1,+∞)上沒有零點(diǎn),所以
不滿足條件.
③若0<t<1,則由,得
當(dāng)變化時(shí),
與
的變化情況如下表:
記,則當(dāng)
時(shí)
,即
成立;
由(Ⅰ)知當(dāng)時(shí),
,即
成立,所以取
,則當(dāng)
時(shí),
且
,從而
,即
,這說明存在
,使得
,
結(jié)合上表可知此時(shí)函數(shù)在(1,+∞)上有唯一零點(diǎn),所以0<t<1滿足條件.
綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍為(0,1).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,以
為極點(diǎn),
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線
的極坐標(biāo)方程為
,
分別為
與
軸,
軸的交點(diǎn).
(1)寫出的直角坐標(biāo)方程,并求
的極坐標(biāo);
(2)設(shè)的中點(diǎn)為
,求直線
的極坐標(biāo)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
且
.
(1)若曲線在點(diǎn)
處的切線垂直于
軸,求實(shí)數(shù)
的值;
(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
的最小值;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(
).
(1)若在
處取到極值,求
的值;
(2)若在
上恒成立,求
的取值范圍;
(3)求證:當(dāng)時(shí),
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列,該數(shù)列前
項(xiàng)的最大值記為
,第
項(xiàng)之后各項(xiàng)
,
,
的最小值記為
,
.
(I)若為
,
,
,
,
,
,
,
,
,是一個(gè)周期為
的數(shù)列(即對任意
,
),寫出
,
,
,
的值.
(II)設(shè)是正整數(shù),證明:
的充分必要條件為
是公比為
的等比數(shù)列.
(III)證明:若,
,則
的項(xiàng)只能是
或者
,且有無窮多項(xiàng)為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合,其中
,由
中的元素構(gòu)成兩個(gè)相應(yīng)的集合:
,
.
其中是有序數(shù)對,集合
和
中的元素個(gè)數(shù)分別為
和
.
若對于任意的,總有
,則稱集合
具有性質(zhì)
.
(Ⅰ)檢驗(yàn)集合與
是否具有性質(zhì)
并對其中具有性質(zhì)
的集合,寫出相應(yīng)的集合
和
.
(Ⅱ)對任何具有性質(zhì)的集合
,證明
.
(Ⅲ)判斷和
的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,正方體的棱長為1,線段
上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)
,則下列結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)是__________.
①;
②直線與平面
所成角的正弦值為定值
;
③當(dāng)為定值,則三棱錐
的體積為定值;
④異面直線所成的角的余弦值為定值
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=(1+x)m+(1+2x)n(m,n∈N*)的展開式中x的系數(shù)為11.
(1)求x2的系數(shù)取最小值時(shí)n的值;
(2)當(dāng)x2的系數(shù)取得最小值時(shí),求f(x)展開式中x的奇次冪項(xiàng)的系數(shù)之和.
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