Question

【題目】設數列為首項是4，公差為1的等差數列，為數列的前項和，且。

（1）求數列及的通項公式和；

（2）問是否存在使成立？若存在，求出，若不存在，說明理由；

（3）對任意的正數,不等式恒成立，求正數的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，理由見解析；（3）

【解析】

（1）根據等差數列通項公式求得的通項公式，利用求得的通項公式.

（2）假設存在符合條件的，對分為奇數和偶數兩種情況進行分類討論，結合，判斷出符合條件的正整數不存在.

（3）將原不等式分離常數，利用數列的單調性求得的取值范圍.

（1）依題意數列為首項是，公差為的等差數列，所以.由于為數列的前項和，且.當時，，當時，，也符合上式，故.

（2）假設符合條件的存在.由（1）得.

當為正奇數時，為正偶數，由得，解得，不符合題意.

當為正偶數時，為正奇數，由得，解得，不符合題意.

綜上所述，符合條件的正整數不存在.

（3）由（1）知，代入得.

設，則，即，所以是單調遞增數列，最小值為.所以的取值范圍是.