Question

【題目】為了拓展城市的旅游業(yè)，實(shí)現(xiàn)不同市區(qū)間的物資交流，政府決定在市與市之間建一條直達(dá)公路，中間設(shè)有至少8個(gè)的偶數(shù)個(gè)十字路口，記為，現(xiàn)規(guī)劃在每個(gè)路口處種植一顆楊樹或者木棉樹，且種植每種樹木的概率均為.

（1）現(xiàn)征求兩市居民的種植意見，看看哪一種植物更受歡迎，得到的數(shù)據(jù)如下所示：

	A市居民	B市居民
喜歡楊樹	300	200
喜歡木棉樹	250	250

是否有的把握認(rèn)為喜歡樹木的種類與居民所在的城市具有相關(guān)性；

（2）若從所有的路口中隨機(jī)抽取4個(gè)路口，恰有個(gè)路口種植楊樹，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望；

（3）在所有的路口種植完成后，選取3個(gè)種植同一種樹的路口，記總的選取方法數(shù)為，求證：.

附：

	0.100	0.050	0.010	0.001
	2.706	3.841	6.635	10.828

Answer 1

【答案】（1）沒有（2）分布列見解析，（3）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)公式計(jì)算卡方值，再對(duì)應(yīng)卡值表判斷..

（2）根據(jù)題意，隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2，3，4，分別求得概率，寫出分布列，根據(jù)期望公式求值.

（3）因?yàn)橹辽?/span>8個(gè)的偶數(shù)個(gè)十字路口，所以，即.要證，即證，根據(jù)組合數(shù)公式，即證；易知有.成立.設(shè)個(gè)路口中有個(gè)路口種植楊樹，下面分類討論①當(dāng)時(shí)，由論證.②當(dāng)時(shí)，由論證.③當(dāng)時(shí)，，設(shè)，再論證當(dāng) 時(shí)，取得最小值即可.

（1）本次實(shí)驗(yàn)中，，

故沒有99.9%的把握認(rèn)為喜歡樹木的種類與居民所在的城市具有相關(guān)性.

（2）依題意，的可能取值為0，1，2，3，4，

故，，

	0	1	2	3	4

故.

（3）∵，∴.要證，即證；

首先證明：對(duì)任意，有.

證明：因?yàn)?/span>，所以.

設(shè)個(gè)路口中有個(gè)路口種植楊樹，

①當(dāng)時(shí)，

，

因?yàn)?/span>，所以，

于是.

②當(dāng)時(shí)，，同上可得

③當(dāng)時(shí)，，設(shè)，

當(dāng)時(shí)，，

顯然，當(dāng)即時(shí)，，

當(dāng)即時(shí)，，

即；，

因此，即.

綜上，，即.