Question

【題目】已知函數

（1）求曲線在點處的切線方程;

（2）令，討論的單調性并判斷有無極值，若有，求出極值.

Answer 1

【答案】（1）y=1;（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）求出的值可得切點坐標，求得,求出的值，可得切線斜率，利用點斜式可得曲線在點處的切線方程；（2）依題意得，可得， ，則，函數在R上單調遞增，分四種情況討論： 時， 時， 時， 時，分別利用導數研究函數的單調性，令求得的范圍，可得函數增區(qū)間， 求得的范圍，可得函數的減區(qū)間，根據單調性可得函數的極值.

試題解析：（1）

∴ 則切線方程為

（2）依題意得

∴

令，則

∴函數在R上單調遞增．

∵

∴時， ； 時，

當時， ，則時， ，函數在（0，+∞）單調遞增； 時， ，函數在（﹣∞，0）單調遞減．

∴時，函數取得極小值， ，無極大值

當時，令，則，

①時， 時， ， ，函數單調遞增；

時， ， ，函數單調遞減；

時， ， ，函數單調遞增

∴當時，函數取得極小值， ．當時，函數取得極大值，

②時， ， 時，

∴函數在上單調遞增，無極值

③時， ， 時， ， ，函數單調遞增；

時， ， ，函數單調遞減；

時， ， ，函數單調遞增．

∴當時，函數取得極大值， ，當時，函數取得極小值,

綜上所述：當時，函數在（0，+∞）單調遞增，在（﹣∞，0）單調遞減， 極小值為﹣1﹣2a，無極大值；

當時，函數在，（0，+∞）上單調遞增，在上單調遞減， 極小值為，極大值為

當時，函數在上單調遞增，無極值

當時，函數在（﹣∞，0），上單調遞增，在上單調遞減， 極大值為．極小值為．