【題目】已知、分別是橢圓的左頂點、右焦點，點為橢圓上一動點，當(dāng)軸時， .

（1）求橢圓的離心率；

（2）若橢圓存在點，使得四邊形是平行四邊形（點在第一象限），求直線與的斜率之積；

（3）記圓為橢圓的“關(guān)聯(lián)圓”. 若，過點作橢圓的“關(guān)聯(lián)圓”的兩條切線，切點為、，直線的橫、縱截距分別為、，求證： 為定值.

【答案】（1）；（2）；（3）見解析．

【解析】試題分析：

(1)利用題意得到關(guān)于的齊次方程，求解方程組可得橢圓的離心率；

(2) 由題意， ， ，則，結(jié)合(1)的結(jié)論可得.

(3) 由（1）知橢圓方程為，圓的方程為.

四邊形的外接圓方程為，

所以，因為點在橢圓上，則.

試題解析：

解：（1）由軸，知，代入橢圓的方程，

得，解得.

又，所以，解得.

（2）因為四邊形是平行四邊形，所以且軸，

所以，代入橢圓的方程，解得， 因為點在第一象限，所以，同理可得， ， 所以，

由（1）知，得，所以.

（3）由（1）知，又，解得，所以橢圓方程為，

圓的方程為 ①. 連接，由題意可知， ， ，

所以四邊形的外接圓是以 為直徑的圓，

設(shè)，則四邊形的外接圓方程為，

即　�、�. ①－②，得直線的方程為，

令，則；令，則. 所以，

因為點在橢圓上，所以，所以.

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【題目】已知函數(shù)f（x）=2sin2（ +x）+ （sin2x﹣cos2x），x∈[ ， ]．
（1）求 的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
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（1）求證：平面；

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【題目】如圖，橢圓的右頂點為，左、右焦點分別為、，過點

且斜率為的直線與軸交于點， 與橢圓交于另一個點，且點在軸上的射影恰好為點．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）過點且斜率大于的直線與橢圓交于兩點（），若，求實數(shù)的取值范圍．

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【題目】某科研機(jī)構(gòu)研發(fā)了某種高新科技產(chǎn)品，現(xiàn)已進(jìn)入實驗階段.已知實驗的啟動資金為10萬元，從實驗的第一天起連續(xù)實驗，第天的實驗需投入實驗費用為元，實驗30天共投入實驗費用17700元.

（1）求的值及平均每天耗資最少時實驗的天數(shù)；

（2）現(xiàn)有某知名企業(yè)對該項實驗進(jìn)行贊助，實驗天共贊助元.為了保證產(chǎn)品質(zhì)量，至少需進(jìn)行50天實驗，若要求在平均每天實際耗資最小時結(jié)束實驗，求的取值范圍.（實際耗資=啟動資金+試驗費用-贊助費）

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【題目】設(shè)函數(shù)（，且），（其中為的導(dǎo)函數(shù)）.

（Ⅰ）當(dāng)時，求的極大值點；

（Ⅱ）討論的零點個數(shù).

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