Question

【題目】已知離心率為 的橢圓(a>b>0)過點M(,1).

(1)求橢圓的方程.

(2)已知與圓x2+y2=相切的直線l與橢圓C相交于不同兩點A,B,O為坐標原點,求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據橢圓離心率、點的坐標以及列方程組，解方程求得，由此求得橢圓方程.

（2）設出直線的方程，聯立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達定理，結合直線與圓相切，計算出的值.

（1）因為橢圓過點，且離心率為，所以煤核兒的，所以橢圓方程為.

（2）當直線斜率存在時，設直線的方程為，直線與橢圓交于不同的兩點，由直線與圓相切得，即，所以①.聯立直線的方程和橢圓方程得，消去并化簡得，則，即.由根與系數關系得.從而.所以，將①代入上式得.

當直線斜率不存在時，由于直線與圓相切，所以直線的方程為，此時直線與橢圓的兩個交點為，或，滿足.

綜上所述，.