Question

【題目】如圖，四棱錐中，垂直平面，，，，為的中點(diǎn).

（Ⅰ） 證明：平面平面；

（Ⅱ）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)證明 （Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）可證 平面，從而得到平面平面．

（Ⅱ）在平面內(nèi)過(guò)作的垂線(xiàn)，垂足為，由（1）可知平面，從而就是所求的線(xiàn)面角，利用解直角三角形可得其正弦值．

（Ⅰ）證明: 平面，平面， 故．

又，所以． 故，即 ，而，所以平面，

因?yàn)?/span>平面，所以平面平面．

（Ⅱ）平面，平面， 故．又，所以．

在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．

由（Ⅰ）知平面平面， 平面，平面平面 所以平面．

由面積法得：即．

又點(diǎn)為的中點(diǎn)，．所以．

又點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到平面的距離相等．

連結(jié)交于點(diǎn)，則．

所以點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的一半，即．

所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．

另解：如圖，取的中點(diǎn)，如圖建立坐標(biāo)系．

因?yàn)?/span>，所以．所以有：

，，，，，

．

．，．

設(shè)平面的一個(gè)法量為，則

取，得 ，．即．

設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則

．