Question

【題目】在一個十進制正整數中，如果它含有偶數（包括零）個數字 8 ，則稱它為“優(yōu)數” ，否則就稱它為“非優(yōu)數” .那么，長度（位數）不超過 （是正整數）的所有“優(yōu)數” 的個數是 __________.

Answer 1

【答案】

【解析】

令長度為的“優(yōu)數”的個數是，則.

令≥2，對于，一方面，在長度為的“非優(yōu)數”的末尾添加數字8，

就變成長度為的“優(yōu)數”，且這樣的“優(yōu)數”有個；

在長度為的“優(yōu)數”的末尾添加一個非8數字，就變成長度為的“優(yōu)數”，

且這樣的“優(yōu)數”有個.

顯然，這兩類長度為的“優(yōu)數”不相同（個位數不同）.

另一方面，反之亦然.這就構成一一對應.

于是，.

即

令，則.

令（為待定的常數），則

.

令，則，于是，

，

.

故.

所以，長度不超過的所有的“優(yōu)數” 的個數是.