Question

【題目】如圖，已知橢圓：的離心率為，長軸長為4，、分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，過右焦點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）記、的面積分別為、，若，求的值；

（Ⅲ）設(shè)線段的中點(diǎn)為，直線與直線相交于點(diǎn)，記直線、、的斜率分別為、、，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)長軸長、離心率和橢圓關(guān)系可求得，進(jìn)而得到橢圓方程；

（Ⅱ）由面積比可得到，由此利用表示出，根據(jù)兩點(diǎn)在橢圓上，代入整理求得，進(jìn)而得到所求斜率；

（Ⅲ）利用點(diǎn)差法可求得，求得點(diǎn)坐標(biāo)后可得到；將直線方程與橢圓方程聯(lián)立后可求得坐標(biāo)，由三點(diǎn)共線可整理得到，進(jìn)而得到；將上述三個關(guān)系式代入整理可得最終結(jié)果.

（Ⅰ）設(shè)橢圓的焦距為，

橢圓長軸長為，即，，

又，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，.

，，又，，，

，代入坐標(biāo)可得：，即，

又點(diǎn)、在橢圓上，，解得：，

直線的斜率；

（Ⅲ）點(diǎn)，在橢圓上，，

兩式相減得：，即，

，即，直線的方程為，

令得：，即，，

又直線的方程為，

與橢圓聯(lián)立整理得：，

，解得：，，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為.

又點(diǎn)、、三點(diǎn)共線，，

整理得：，

由題意知：，，，

由可得：，即.

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