Question

【題目】已知數(shù)列{an}的通項為an ， 前n項和為sn ， 且an是sn與2的等差中項，數(shù)列{bn}中，b1=1，點(diǎn)P（bn ， bn+1）在直線x﹣y+2=0上． （Ⅰ）求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式an ， bn
（Ⅱ）設(shè){bn}的前n項和為Bn ， 試比較 與2的大小．
（Ⅲ）設(shè)Tn= ，若對一切正整數(shù)n，Tn＜c（c∈Z）恒成立，求c的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可得2an=sn+2， 當(dāng)n=1時，a1=2，
當(dāng)n≥2時，有2an﹣1=sn﹣1+2，兩式相減，整理得an=2an﹣1即數(shù)列{an}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故an=2n ．
點(diǎn)P（bn ， bn+1）在直線x﹣y+2=0上得出bn﹣bn+1+2=0，即bn+1﹣bn=2，
即數(shù)列{bn}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，
因此bn=2n﹣1．
（Ⅱ）Bn=1+3+5+…+（2n﹣1）=n2
∴
= ．
（Ⅲ）Tn= ①
②
① ﹣②得
∴
又
∴滿足條件Tn＜c的最小值整數(shù)c=3
【解析】（Ⅰ）利用已知條件得出數(shù)列的通項和前n項和之間的等式關(guān)系，再結(jié)合二者間的基本關(guān)系，得出數(shù)列{an}的通項公式，根據(jù){bn}的相鄰兩項滿足的關(guān)系得出遞推關(guān)系，進(jìn)一步求出其通項公式；（Ⅱ）利用放縮法轉(zhuǎn)化各項是解決該問題的關(guān)鍵，將所求的各項放縮轉(zhuǎn)化為能求和的一個數(shù)列的各項估計其和，進(jìn)而達(dá)到比較大小的目的；（Ⅲ）利用錯位相減法進(jìn)行求解Tn是解決本題的關(guān)鍵，然后對相應(yīng)的和式進(jìn)行估計加以解決．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項和的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系才能正確解答此題．