已知函數(shù)若函數(shù)
在x = 0處取得極值.
(1) 求實(shí)數(shù)的值;
(2) 若關(guān)于x的方程在區(qū)間[0,2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3) 證明:對(duì)任意的自然數(shù)n,有恒成立.
(1);(2)
;(3)見(jiàn)解析.
解析試題分析:(1)先有已知條件寫(xiě)出的解析式,然后求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系得到
,解得
的值;(2)由
構(gòu)造函數(shù)
,則
在
上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于
在
恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根,對(duì)函數(shù)
求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系找到函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間,再由零點(diǎn)的存在性定理得到
,解不等式組即可;(3) 證明不等式
,即是證明
.對(duì)函數(shù)
求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,找到其在區(qū)間
上的最大值
,則有
成立,那么不等式
成立,利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得
的單調(diào)性與最小值,根據(jù)
,那么
,所給不等式得證.
試題解析:(1) 由題意知則
, 2分
∵時(shí),
取得極值,∴
,故
,解得
.
經(jīng)檢驗(yàn)符合題意. 4分
(2)由知
由 ,得
, 5分
令,
則在
上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于
在
恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根.
, 7分
當(dāng)時(shí),
,于是
在
上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),
,于是
在
上單調(diào)遞減.依題意有
,即
,
.9分
(3) 的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/22/c/dpzoj1.png" style="vertical-align:middle;" />,由(1)知
,
令得,
或
(舍去), 11分
∴當(dāng)時(shí),
,
單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),
,
單調(diào)遞減. ∴
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知定義在上的函數(shù)
,其中
為常數(shù).
(1)當(dāng)是函數(shù)
的一個(gè)極值點(diǎn),求
的值;
(2)若函數(shù)在區(qū)間
上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),若
,在
處取得最大值,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若,試解答下列兩小題.
(i)若不等式對(duì)任意的
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(ii)若是兩個(gè)不相等的正數(shù),且以
,求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線(xiàn)
在點(diǎn)
處的切線(xiàn)方程;
(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若在區(qū)間
上恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù),
,其中
.
(Ⅰ)討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)若在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求正實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù),當(dāng)
時(shí),若
,
,總有
成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
某商場(chǎng)銷(xiāo)售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明,該商品每日的銷(xiāo)售量(單位:千克)與銷(xiāo)售價(jià)格
(單位:元/千克)滿(mǎn)足關(guān)系式
其中
為常數(shù).己知銷(xiāo)售價(jià)格為5元/千克時(shí),每日可售出該商品11千克.
(1)求的值;
(2)若該商品的成本為3元/千克,試確定銷(xiāo)售價(jià)格的值,使商場(chǎng)每日銷(xiāo)售該商品所獲得利潤(rùn)最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù),
為實(shí)數(shù))有極值,且在
處的切線(xiàn)與直線(xiàn)
平行.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)的極小值為1,若存在,求出實(shí)數(shù)a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù)試判斷函數(shù)
在
上的符號(hào),并證明:
(
).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值;
(II)若關(guān)于x的不等式恒成立,求實(shí)數(shù)a的集合.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù)(
)
(1)若曲線(xiàn)在點(diǎn)
處的切線(xiàn)平行于
軸,求
的值;
(2)當(dāng)時(shí),若直線(xiàn)
與曲線(xiàn)
在
上有公共點(diǎn),求
的取值范圍.
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