Question

【題目】已知函數(shù).

（1）令，若在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，，且，又是的導(dǎo)函數(shù).若正常數(shù)，滿足條件，.試比較與0的關(guān)系，并給出理由

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析.

【解析】

（1）先求得，因?yàn)?/span>g（x）在區(qū)間（0，3）上不單調(diào)，所以g'（x）＝0在（0，3）上有實(shí)數(shù)解，且無重根．由g'（x）＝0，求得，由此可得a的范圍．（2）由題意可得，f（x）﹣mx＝0有兩個實(shí)根x1，x2，化簡可得．可得h′（α+β），由條件知（2α﹣1）（）≤0，利用分析法結(jié)合構(gòu)造函數(shù)證明h′（α+β）

（1）因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span>在區(qū)間上不單調(diào)，所以在上有實(shí)數(shù)解，且無重根，

由，有，，令t=x+1>4

則y=2(t+在t>4單調(diào)遞增，故

（2）∵，又有兩個實(shí)根，，

∴，兩式相減，得，

∴，

于是

.

∵，∴，∴.

要證：，只需證：

只需證：.（*）

令，∴（*）化為，只需證

∵在上單調(diào)遞增，，∴，即.

∴.