Question

【題目】已知橢圓：，其左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，.

（1）若直線(xiàn)垂直于軸，求的值；

（2）若，直線(xiàn)的斜率為，則橢圓上是否存在一點(diǎn)，使得關(guān)于直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)？如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）設(shè)直線(xiàn):上總存在點(diǎn)滿(mǎn)足，當(dāng)的取值最小時(shí)，求直線(xiàn)的傾斜角.

Answer 1

【答案】(1)5；(2)答案見(jiàn)解析；(3).

【解析】試題分析：

（1）由題意可得，則，結(jié)合勾股定理可得，，則.

（2）由題意可得橢圓方程為，且，的坐標(biāo)分別為，由對(duì)稱(chēng)性可求得點(diǎn)坐標(biāo)為，該點(diǎn)不在橢圓上，則橢圓上不存在滿(mǎn)足題意的點(diǎn).

（3）由題意可得橢圓方程為，且，的坐標(biāo)為，設(shè)直線(xiàn)的y軸截距式方程，與橢圓方程聯(lián)立有，由題意可知點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，據(jù)此計(jì)算可得，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).則直線(xiàn)的傾斜角.

試題解析：

（1）因?yàn)?/span>，則，

即，設(shè)橢圓的半焦距為，則，在直角中，，即

解得，，所以.

（2）由，，得，因此橢圓方程為，且，

的坐標(biāo)分別為，直線(xiàn)的方程為，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，

則由已知可得：，解得，而，

即點(diǎn) 不在橢圓上，

所以，橢圓上不存在這樣的點(diǎn)，使得關(guān)于直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng).

（3）由，得橢圓方程為，且，的坐標(biāo)為，所以可設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入得：，

因?yàn)辄c(diǎn)滿(mǎn)足，所以點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，

設(shè)的坐標(biāo)為，則 ，

因?yàn)橹本€(xiàn)上總存在點(diǎn)滿(mǎn)足，

所以，且，所以，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線(xiàn)的傾斜角.