Question

【題目】已知函數(shù)(aR)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）若，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；

（2）若函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，且，求a的取值范圍；

（3）證明：對任意，曲線上有且僅有三個不同的點(diǎn)，在這三點(diǎn)處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析.

【解析】

（1）當(dāng)時，，定義域?yàn)?/span>R.求出，令，即得的單調(diào)減區(qū)間；

（2）由函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，得恒成立，故，得.分三種情況討論，即得a的取值范圍；

（3）設(shè)切點(diǎn)為，求出，寫出切線方程.把點(diǎn)代入，化簡得.令，求出，判斷的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，即可證明.

（1）當(dāng)時，，定義域?yàn)?/span>R..

．

令，得，

函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為．

（2）由函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，得恒成立，

．

由，得．

當(dāng)時，，不符合題意．

當(dāng)時，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，，不符題意．

當(dāng)時，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，，滿足題意．

綜上，a的取值范圍為．

（3）證明：設(shè)切點(diǎn)為，則，

切線方程為．

由，化簡得．

設(shè)，則只需證明函數(shù)有且僅有三個不同的零點(diǎn)．

由(2)可知時，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，．

恒成立，

有兩不相等的實(shí)數(shù)根x1和x2，不妨．

可得下表：

x	(－∞,x1)	x1	(x1,x2)	x2	(x2,＋∞)
h’(x)	＋	0	－	0	＋
h(x)	增	極大值	減	極小值	增

所以函數(shù)h(x)最多有三個零點(diǎn)．

，，

．

函數(shù)的圖象不間斷，函數(shù)在上分別至少有一個零點(diǎn)．

綜上所述，函數(shù)h(x)有且僅有三個零點(diǎn)，即對任意，曲線上有且僅有三個不同的點(diǎn)，在這三點(diǎn)處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)．