Question

【題目】平面內與兩定點，連線的斜率之積等于的點的軌跡，加上、兩點所成的曲線為.若曲線與軸的正半軸的交點為，且曲線上的相異兩點、滿足.

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）首先設出，根據斜率之積等于得到，再化簡即可得到曲線的軌跡方程.

（2）分別討論的斜率存在和不存在時，根據，設出直線方程與橢圓聯(lián)立，利用根系關系得到直線恒過，再將面積轉化為，利用根系關系和對勾函數的單調性即可得到面積的最大值.

（1）設曲線上任意一點，，，

，

整理得：.

又曲線加上，兩點，所以曲線的方程是：.

（2）由題意可知，設，，

當的斜率存在時，設直線：，

聯(lián)立方程組：，得到，

則，.

，，

因為，所以有，

，

，

化簡得到，解得：或（舍）.

當的斜率不存在時，

易知滿足條件的直線為：.

因此，直線恒過定點.

所以，

，

因為，所以.

設，.

由對勾函數的單調性得到在為增函數，

所以.

即：（時取到最大值）.

所以面積的最大值為.