Question

【題目】如圖，從一個面積為的半圓形鐵皮上截取兩個高度均為的矩形，并將截得的兩塊矩形鐵皮分別以，為母線卷成兩個高均為的圓柱（無底面，連接部分材料損失忽略不計(jì)）．記這兩個圓柱的體積之和為．

（1）將表示成的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；

（2）求兩個圓柱體積之和的最大值．

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）設(shè)半圓形鐵皮的半徑為r，自下而上兩個矩形卷成的圓柱的底面半徑分別為r1，r2，寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系，并寫出x的取值范圍；

（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷V（x）的單調(diào)性，得出V（x）的最大值．

（1）設(shè)半圓形鐵皮的半徑為，自下而上兩個矩形卷成的圓柱的底面半徑分別為，．

因?yàn)榘雸A形鐵皮的面積為，所以，即．

因?yàn)?/span>，所以，

同理，即．

所以卷成的兩個圓柱的體積之和．

因?yàn)?/span>，所以的取值范圍是．

（2）由，得，

令，因?yàn)?/span>，故

當(dāng)時，；當(dāng)時， ，

所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，

所以當(dāng)時，取得極大值，也是最大值．

因此的最大值為．

答：兩個圓柱體積之和的最大值為．