Question

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）證明:點(diǎn)在軸的右側(cè);

（2）設(shè)線段的垂直平分線與軸、軸分別相交于點(diǎn).若與的面積相等,求直線的斜率

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可證出；

（2）根據(jù)線段的垂直平分線求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出的面積，再表示出的面積，由與的面積相等列式，即可解出直線的斜率．

（1）由題意，得，直線（）

設(shè)，，

聯(lián)立消去，得，

顯然，，

則點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

因?yàn)?/span>，

所以點(diǎn)在軸的右側(cè)．

（2）由（1）得點(diǎn)的縱坐標(biāo)．

即．

所以線段的垂直平分線方程為：．

令，得；令，得．

所以的面積，

的面積．

因?yàn)?/span>與的面積相等，

所以，解得．

所以當(dāng)與的面積相等時，直線的斜率．