Question

【題目】為了美化校園，要對校園內(nèi)某一區(qū)域作如下設(shè)計，如圖，已知，，，在邊BC上選一點P. 沿著AP和CP重新栽種花木，圖中陰影部分鋪上草坪. AP段栽種花木費用是每米3a元，CP段栽種花木費用是每米2a元，其中a是正常數(shù).設(shè).

（1）求栽種花木費用y關(guān)于θ的函數(shù)表達式；

（2）求的值，使得栽種花木費用y最小.

Answer 1

【答案】（1），；（2）當(dāng)時，栽種花木費用y最小.

【解析】

（1）由正弦定理可求的長度，求出的長后再根據(jù)各段每米費用可求.

（2）將（1）中的函數(shù)化簡后再令，可通過導(dǎo)數(shù)研究何時取最小值，最后根據(jù)和的關(guān)系求出取最小值時的值.

（1）在中，由正弦定理可得，

所以，故，

故即，

其中.

（2）令，則.

又

,

，其中.

令，則，

令，則，設(shè)，

因為，故.

當(dāng)，，在為減函數(shù)，

當(dāng)，，在為增函數(shù)，

所以，此時，

因為，故，

所以.

故當(dāng)時，栽種花木費用y最小.