Question

【題目】已知函數．

（1）討論的單調性；

（2）設的導函數為，若有兩個不相同的零點．

① 求實數的取值范圍；

② 證明：．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）①，②見解析

【解析】

（1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區(qū)間即可；

（2）①通過討論a的范圍，求出函數的單調區(qū)間，結合函數的零點個數確定a的范圍即可；

②問題轉化為證，即證，設函數，根據函數的單調性證明即可．

（1）的定義域為，且．

當時，成立，所以在為增函數；

當時，

（i）當時，，所以在上為增函數；

（ii）當時，，所以在上為減函數．

（2）①由（1）知，當時，至多一個零點，不合題意；

當時，的最小值為，

依題意知 ，解得．

一方面，由于，，在為增函數，且函數的圖

象在上不間斷．

所以在上有唯一的一個零點．

另一方面， 因為，所以．

，令，

當時，，

所以

又，在為減函數，且函數的圖象在上不間斷．

所以在有唯一的一個零點．

綜上，實數的取值范圍是．

②設．

又則．

下面證明．

不妨設，由①知．

要證，即證．

因為，在上為減函數，

所以只要證．

又，即證．

設函數．

所以，所以在為增函數.

所以，所以成立．

從而成立.

所以，即成立.