Question

【題目】如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，，E，F分別是棱PC，AB的中點(diǎn).

（1）求證：平面PAD；

（2）若，求直線EF與平面PAB所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）取PD中點(diǎn)M，連接AM，ME，可證明出，即有，根據(jù)線面平行的判定定理，即可證出平面PAD；

（2）連接AC，BD交于點(diǎn)O，以OA，OB，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，由線面角的向量公式即可求出．

（1）取PD中點(diǎn)M，連接AM，ME，

因?yàn)?/span>E，M分別是棱PC，PD的中點(diǎn)，

所以，，

因?yàn)?/span>F是AB的中點(diǎn)，且，

所以，且，即.

故四邊形AFEM是平行四邊形，從而有.

又因?yàn)?/span>平面PAD，平面PAD，

所以平面PAD.

（2）連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接OP，

由題意得平面ABCD，，

以OA，OB，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，

則，

，

，

設(shè)平面PAB的法向量為.

由得

可取，得.

設(shè)EF與平面PAB所成的角為，

所以，

即直線EF與平面PAB所成角的正弦值為．