Question

【題目】（原創(chuàng)題）已知點(diǎn)是橢圓和拋物線(xiàn) 的公共焦點(diǎn)， 是橢圓的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，點(diǎn)是與 在第二象限的交點(diǎn)，且.

(I) 求橢圓 的方程；

(II) 點(diǎn)為直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為.直線(xiàn)交橢圓 于兩點(diǎn)，設(shè)△的面積為，△的面積為，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（I）由拋物線(xiàn)的定義可得的的坐標(biāo)，從而求得，由橢圓的定義可得，結(jié)合，可得橢圓方程；(II)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得 ，，求得聯(lián)立 消去得，由韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式以及三角形面積公式可得，利用基本不等式可得結(jié)果.

（I）易知，所以焦點(diǎn)，橢圓的另一焦點(diǎn)為

由拋物線(xiàn)定義知，

從而，

由兩點(diǎn)間距離公式可得

又由橢圓定義得：,

∴，

故所求橢圓方程為：

(II)由對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)，

再設(shè) ,

由得,

①

②

由①②解得

所以有： ③

④

由點(diǎn)斜式得⑤

③④代入⑤得：

聯(lián)立 消去得，

又設(shè) ，

則，

到之間的距離為，

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.