【題目】在平面直角坐標系xOy中,己知橢圓C的左、右頂點為A,B,右焦點為F.過點A且斜率為k)的直線交橢圓C于另一點P.

1)求橢圓C的離心率;

2)若,求的值;

3)設(shè)直線l:,延長AP交直線l于點Q,線段BO的中點為E,求證:點B關(guān)于直線EF的對稱點在直線PF上。

【答案】(1)(2)(3)詳見解析

【解析】

1)根據(jù)橢圓的方程,結(jié)合橢圓離心率的求法,即可求出結(jié)果;

2)先由題意,得到直線AP的方程為代入橢圓方程,求出點P的坐標,表示出,進而可得出結(jié)果;

3)由直線AP的方程與直線l的方程聯(lián)立,求出,表示出直線EF的斜率,再由結(jié)合韋達定理,以及題中條件,表示出直線PF的斜率,再由題意,即可證明結(jié)論成立.

1)因為橢圓C

所以,.

,所以,

所以橢圓C的離心率.

2)因為直線AP的斜率為,且過橢圓C的左頂點

所以直線AP的方程為.

代入橢圓C的方程,

,即

解得(舍去),

代入,得,

所以點P的坐標為.

又橢圓C的右頂點B2t,0),

所以,,

所以.

3)直線AP的方程為,

代入,得,所以.

因為E為線段BQ的中點,所以,

因為焦點F的坐標為(t,0),

所以直線EF的斜率.

聯(lián)立y得,.

由于,

所以,

所以點P的坐標為

所以直線PF的斜率.

而直線EF的斜率為2k,

若設(shè),則有,即

所以點B關(guān)于直線EF的對稱點在直線PF.

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