Question

【題目】如圖，在四樓錐中，面，，.

（1）求的長.

（2）求直線與面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）可證平面，從而得到后可計算的長.

（2）在直角梯形中可計算出，再利用等積法求出到平面的距離（可轉化到平面的距離），從而可得線面角的正弦值.

解：（1）平面，，

又，

平面ABCD，

是直角三角形，

由已知，.

（2）解法1：

平面，，

如圖，在直角梯形中，過作，交于.

故，所以.

設到平面的距離為，直線與平面所成的角為

則.

，面，面，平面，∴ 到平面的距離也為.

在三棱錐中，，

平面ABCD，.

又，

，

，

即直線與面所成角的正弦值為.

解法2：由（1）知平面ABCD，過作于，則，

如圖以為原點，所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系.

則，

則

設平面的法向量為，

則由，得

令.可得.

設直線與面所成角為.

則，即直線與面所成角的正弦值為