Question

【題目】

（1）求在上的單調(diào)區(qū)間；

（2）當時，設(shè)函數(shù)，時，證明．

（3）證明：．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析

【解析】

（1）分別在、、和四種情況下，根據(jù)導函數(shù)的正負確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）將所證不等式轉(zhuǎn)化為證明，采用換元法可知即證，利用導數(shù)可確定函數(shù)單調(diào)性，進而確定，由此證得結(jié)論；

（3）由可得，通過分離常數(shù)法進行配湊，可以得到，根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合累加的方法可證得結(jié)論.

（1）由題意得：，

①當時，在上恒成立，

的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；

②當時，令，解得：或（舍），

當時，；當時，；

的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

③當時，在上恒成立，

的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；

④當時，令，解得：（舍）或

當時，；當時，；

的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

綜上所述：當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；

當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；

當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）由題意得：，

，，即，

要證，需證，即證，

設(shè)，則要證，等價于證：，

令，則，

在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，，

即，故.

（3）由（1）知：當時，在上為增函數(shù)，，

即，

令， 可得：，

即，

，

則，，，，，

不等式左右分別相加得：

，不等式得證.