【題目】如圖所示,在多面體中,矩形
所在平面與直角梯形
所在平面垂直,
,
,
為
的中點(diǎn),且
,
.
(1)求證:平面
;
(2)求直線與平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)詳見解析;(2).
【解析】
(1)要證平面
,即證
,構(gòu)造四邊形
,證明其為平行四邊形即可;
(2) 以為原點(diǎn),分別以
、
、
為
,
,
軸,建立空間直角坐標(biāo)系
,利用空間向量法即可求出直線
與平面
所成角的正弦值.
(1)證明:如圖,
取的中點(diǎn)
,連結(jié)
.
∵是
的中點(diǎn),
是
的中點(diǎn).
∴,
.
又,
.∴
,
.
∴四邊形是平行四邊形,∴
.
又∵平面
,
平面
.
∴平面
.
(2)∵平面平面
,
,平面
平面
,
∴平面
.∴
,
.
∵,
,∴
.
如圖,以為原點(diǎn),分別以
、
、
為
,
,
軸,建立空間直角坐標(biāo)系
,
則,
,
,
,
,
,
,
∴,
.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
,
則,令
,得
,
,∴
.
又,∴
.
∴直線與平面
所成角的正弦值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-5:不等式選講
已知函數(shù).
(1)求的值域;
(2)若存在唯一的整數(shù),使得
,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,離心率為
,且過(guò)點(diǎn)P
。
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知斜率為1的直線l過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F交橢圓于A.B兩點(diǎn),求弦AB的長(zhǎng)。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知菱形與直角梯形
所在的平面互相垂直,其中
,
,
,
,
為
的中點(diǎn)
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)設(shè)為線段
上一點(diǎn),
,若直線
與平面
所成角的正弦值為
,求
的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)在拋物線
的準(zhǔn)線上,且橢圓的短軸長(zhǎng)為2,
分別為橢圓的左,右焦點(diǎn),
分別為橢圓的左,右頂點(diǎn),設(shè)點(diǎn)
在第一象限,且
軸,連接
交橢圓于點(diǎn)
,直線
的斜率為
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若三角形的面積等于四邊形
的面積,求
的值;
(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)為
的中點(diǎn),射線
(
為原點(diǎn))與橢圓交于點(diǎn)
,滿足
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的右焦點(diǎn)為
,右頂點(diǎn)為
.
(1)求雙曲線的方程;
(2)若直線與雙曲線
恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
和
,且
(其中
為坐標(biāo)原點(diǎn)),求實(shí)數(shù)
取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在多面體中,
為等邊三角形,
,
點(diǎn)
為邊
的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面
;
(Ⅱ)求證:平面平面
;
(Ⅲ)求直線與平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)若,求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(2)若關(guān)于的不等式
在
上恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C過(guò)點(diǎn) ,兩個(gè)焦點(diǎn)
.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),且|AB|=6,求△AOB面積的最大值.
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