Question

【題目】極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy有相同的長度單位，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸．已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=2 sin（ ），直線C的極坐標(biāo)方程為ρsinθ=1，射線θ=φ，θ= +φ（φ∈[0，π]）與曲線C1分別交異于極點(diǎn)O的兩點(diǎn)A，B．
（I）把曲線C1和C2化成直角坐標(biāo)方程，并求直線C2被曲線C1截得的弦長；
（II）求|OA|2+|OB|2的最小值．

Answer 1

【答案】解：（I）曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=2 sin（ ），∴ρ=2sinθ+2cosθ，
∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ，
∴x2+y2=2x+2y，
即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2為圓C的直角坐標(biāo)方程；
直線C2的極坐標(biāo)方程為ρsinθ=1，直角坐標(biāo)方程為y=1
y=1，x=1± ，∴直線C2被曲線C1截得的弦長=2
（II）|OA|=2 sin（φ+ ），|OB|=2 sin（ +φ+ ）=2 cosφ
|OA|2+|OB|2=8sin2（φ+ ）+8cos2φ=4 sin（2φ+ ）+8，
∵φ∈[0，π]，
∴2φ+ ∈[ ， ]，
∴|OA|2+|OB|2的最小值為8﹣4
【解析】（Ⅰ）利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2 ， 進(jìn)行代換即得直角坐標(biāo)方程，并求直線C2被曲線C1截得的弦長；（II）|OA|2+|OB|2=8sin2（φ+ ）+8cos2φ=4 sin（2φ+ ）+8，即可求|OA|2+|OB|2的最小值．