Question

【題目】已知圓經過、，圓心在直線上，過點，且斜率為的直線交圓相交于、兩點．

（Ⅰ）求圓的方程；

（Ⅱ）（i）請問是否為定值．若是，請求出該定值，若不是，請說明理由；

（ii）若為坐標原點，且，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）（i）7; （ii）.

【解析】試題分析:(1) 設圓的方程為，將已知條件代入,解出方程組,即可求得圓的方程；(2) （i）過點作直線與圓相切，切點為，則，根據數量積的定義代入可得為定值;（ii）依題意可知，直線的方程為，聯立直線與圓方程,消去y,將韋達定理代入 ,即可求出，進而求得直線方程.

試題解析:（Ⅰ）設圓的方程為，

則依題意，得解得∴圓的方程為．

（Ⅱ）（i）為定值．

過點作直線與圓相切，切點為，則，

∴，∴為定值，且定值為7．

（ii）依題意可知，直線的方程為，

設， ，將代入并整理得：

，

∴， ，

∴ ，即，

解得，又當時，∴，所以直線的方程為．