精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

【題目】設三棱錐的每個頂點都在球的球面上,是面積為的等邊三角形,,,且平面平面.

1)求球的表面積;

2)證明:平面平面,且平面平面.

3)與側面平行的平面與棱,分別交于,,,求四面體的體積的最大值.

【答案】(1)(2)證明見解析(3)

【解析】

1)先取的中點,連接.根據,得出的外心為.再因為,.平面平面,平面平面,所以平面,球心.得出是線段上靠近點的一個三等分點.然后求出球的半徑,則得出球的表面積為.

2)根據,平面,平面,則有平面平面.再證平面平面,所以有平面,平面,即可證得平面平面.

3)先求到平面的距離.,到平面的距離為.由平面平面,得到三角形相似,則可得的面積,求出,得到到平面的距離為,則四面體的體積.轉化為函數,利用導函數求得最大值.

1)解:取的中點,連接.

因為,所以的外心為.

因為,所以.

又平面平面,平面平面,所以平面,

所以.

因為是等邊三角形,所以是線段上靠近點的一個三等分點.

由題意得,解得,

所以球的半徑,的表面積為.

2)證明:因為,所以平面,

平面,所以平面平面.

連接,,又平面平面,所以平面,

平面,所以平面平面.

3)解:因為,所以到平面的距離.

,到平面的距離為.

因為平面平面,所以,的面積為.

,所以到平面的距離為,

所以四面體的體積.

,,

,;當,.

所以,

即四面體的體積的最大值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標系中,將曲線為參數)上任意一點經過伸縮變換后得到曲線的圖形.以坐標原點為極點,x軸的非負半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標系,已知直線

1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程;

2)點P為曲線上的任意一點,求點P到直線的距離的最大值及取得最大值時點P的坐標.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】如圖,平面,.

(Ⅰ)求證:平面;

(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值;

(Ⅲ)若二面角的余弦值為,求線段的長.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知直線l的參數方程為:,(t為參數).在以坐標原點0為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C的極坐標方程為ρ24ρcosθ4ρsinθ+40

(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程;

(2)設直線l與曲線C交于A,B兩點,求的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知橢圓ab0)長軸的兩頂點為A、B,左右焦點分別為F1、F2,焦距為2ca=2c,過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為3

1)求橢圓C的方程;

2)在雙曲線 上取點Q(異于頂點),直線OQ與橢圓C交于點P,若直線AP、BPAQ、BQ的斜率分別為k1、k2、k3、k4,試證明:k1+k2+k3+k4為定值;

3)在橢圓C外的拋物線Ky2=4x上取一點E,若EF1、EF2的斜率分別為,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐中,為直角梯形,,,平面平面,是以為斜邊的等腰直角三角形,,上一點,且.

1)證明:直線平面

2)求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】某公司進行共享單車的投放與損耗統(tǒng)計,到去年年底單車的市場保有量(已投入市場且能正常使用的單車數量)為輛,預計今后每年新增單車1000輛,隨著單車的頻繁使用,估計每年將有200輛車的損耗,并且今后若干年內,年平均損耗在上一年損耗基礎上增加.

1)預計年底單車的市場保有量是多少?

2)到哪一年底,市場的單車保有量達到最多?該年的單車保有量是多少輛(最后結果精確到整數)?

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知函數,若在定義域內存在,使得成立,則稱為函數的局部對稱點.

1)若,證明:函數必有局部對稱點;

2)若函數在區(qū)間內有局部對稱點,求實數的取值范圍;

3)若函數上有局部對稱點,求實數的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知首項大于0的等差數列的公差,且;

1)求數列的通項公式;

2)若數列滿足:,,,其中

①求數列的通項;

②是否存在實數,使得數列為等比數列?若存在,求出的值,若不存在,請說明理由;

查看答案和解析>>

同步練習冊答案