【題目】設三棱錐的每個頂點都在球
的球面上,
是面積為
的等邊三角形,
,
,且平面
平面
.
(1)求球的表面積;
(2)證明:平面平面
,且平面
平面
.
(3)與側面平行的平面
與棱
,
,
分別交于
,
,
,求四面體
的體積的最大值.
【答案】(1)(2)證明見解析(3)
【解析】
(1)先取的中點
,連接
.根據
,得出
的外心為
.再因為
,則
.平面
平面
,平面
平面
,所以
平面
,球心
在
上.得出
是線段
上靠近點
的一個三等分點.然后求出球的半徑
,則得出球的表面積為.
(2)根據在
上,則
平面
,又
平面
,則有平面
平面
.再證平面
平面
,所以有
平面
,又
平面
,即可證得平面
平面
.
(3)先求到平面
的距離
.設
,
到平面
的距離為
.由平面
平面
,得到三角形相似
,則可得
的面積,求出
,得到
到平面
的距離為
,則四面體
的體積
.轉化為函數,利用導函數求得最大值.
(1)解:取的中點
,連接
.
因為,所以
的外心為
.
因為,所以
.
又平面平面
,平面
平面
,所以
平面
,
所以在
上.
因為是等邊三角形,所以
是線段
上靠近點
的一個三等分點.
由題意得,解得
,
所以球的半徑
,球
的表面積為
.
(2)證明:因為在
上,所以
平面
,
又平面
,所以平面
平面
.
連接,則
,又平面
平面
,所以
平面
,
又平面
,所以平面
平面
.
(3)解:因為,所以
到平面
的距離
.
設,
到平面
的距離為
.
因為平面平面
,所以
,則
的面積為
.
又,所以
到平面
的距離為
,
所以四面體的體積
.
設,
,
當時,
;當
時,
.
所以,
即四面體的體積的最大值為
.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,將曲線
(
為參數)上任意一點
經過伸縮變換
后得到曲線
的圖形.以坐標原點
為極點,x軸的非負半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標系,已知直線
.
(1)求曲線的普通方程和直線
的直角坐標方程;
(2)點P為曲線上的任意一點,求點P到直線
的距離的最大值及取得最大值時點P的坐標.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知直線l的參數方程為:,(t為參數).在以坐標原點0為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C的極坐標方程為ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0.
(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程;
(2)設直線l與曲線C交于A,B兩點,求的值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 (a>b>0)長軸的兩頂點為A、B,左右焦點分別為F1、F2,焦距為2c且a=2c,過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為3.
(1)求橢圓C的方程;
(2)在雙曲線 上取點Q(異于頂點),直線OQ與橢圓C交于點P,若直線AP、BP、AQ、BQ的斜率分別為k1、k2、k3、k4,試證明:k1+k2+k3+k4為定值;
(3)在橢圓C外的拋物線K:y2=4x上取一點E,若EF1、EF2的斜率分別為,求
的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某公司進行共享單車的投放與損耗統(tǒng)計,到去年年底單車的市場保有量(已投入市場且能正常使用的單車數量)為
輛,預計今后每年新增單車1000輛,隨著單車的頻繁使用,估計每年將有200輛車的損耗,并且今后若干年內,年平均損耗在上一年損耗基礎上增加
%.
(1)預計年底單車的市場保有量是多少?
(2)到哪一年底,市場的單車保有量達到最多?該年的單車保有量是多少輛(最后結果精確到整數)?
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數,若在定義域內存在
,使得
成立,則稱
為函數
的局部對稱點.
(1)若、
且
,證明:函數
必有局部對稱點;
(2)若函數在區(qū)間
內有局部對稱點,求實數
的取值范圍;
(3)若函數在
上有局部對稱點,求實數
的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知首項大于0的等差數列的公差
,且
;
(1)求數列的通項公式;
(2)若數列滿足:
,
,
,其中
;
①求數列的通項
;
②是否存在實數,使得數列
為等比數列?若存在,求出
的值,若不存在,請說明理由;
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