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【題目】設三棱錐的每個頂點都在球的球面上，是面積為的等邊三角形，，，且平面平面.

（1）求球的表面積；

（2）證明：平面平面，且平面平面.

（3）與側面平行的平面與棱，，分別交于，，，求四面體的體積的最大值.

【答案】（1）（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）先取的中點,連接.根據,得出的外心為.再因為,則.平面平面,平面平面,所以平面,球心在上.得出是線段上靠近點的一個三等分點.然后求出球的半徑,則得出球的表面積為.

（2）根據在上,則平面,又平面,則有平面平面.再證平面平面,所以有平面,又平面,即可證得平面平面.

（3）先求到平面的距離.設,到平面的距離為.由平面平面,得到三角形相似,則可得的面積,求出,得到到平面的距離為,則四面體的體積.轉化為函數,利用導函數求得最大值.

（1）解：取的中點,連接.

因為,所以的外心為.

因為,所以.

又平面平面,平面平面,所以平面,

所以在上.

因為是等邊三角形,所以是線段上靠近點的一個三等分點.

由題意得,解得,

所以球的半徑,球的表面積為.

（2）證明：因為在上,所以平面,

又平面,所以平面平面.

連接,則,又平面平面,所以平面,

又平面,所以平面平面.

（3）解：因為,所以到平面的距離.

設,到平面的距離為.

因為平面平面,所以,則的面積為.

又,所以到平面的距離為,

所以四面體的體積.

設,,

當時,；當時,.

所以,

即四面體的體積的最大值為.

練習冊系列答案
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