【題目】如圖，在四棱錐中，底面，，，，為的中點.

（1）求證：平面；

（2）若點在線段上，且滿足，求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

(1) 連接,為正三角形，，即，又，由線面垂直的判定定理即可得到證明；（2）由（1）知，，兩兩垂直，因此以為坐標原點，以，，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，然后利用線面角的向量公式計算即可.

（1）如圖，連接.

由條件知四邊形為菱形，且，

∴，∴為正三角形.

∵為的中點，∴.

又∵，∴.

又∵底面，底面，∴.

∵，∴平面.

（2）由（1）知，，兩兩垂直，因此以為坐標原點，以，，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示.則，，，，.

∵，∴，

∴ .易知.

設為平面的一個法向量，則

由得取，得.

又∵，

∴ ，

故直線與平面所成角的正弦值為.

練習冊系列答案
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