Question

【題目】已知函數(shù)函數(shù)在點(diǎn)處的切線為．

（1）求函數(shù)的值，并求出在上的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，且，求證：．

Answer 1

【答案】（1）時(shí)，為增函數(shù)，時(shí)，為減函數(shù)；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）先利用切點(diǎn)和斜率，列方程組，求得，此時(shí)，將區(qū)間分為和來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性，其中部分要用二階導(dǎo)數(shù)來(lái)求；（2）根據(jù)，代入函數(shù)的表達(dá)式，化簡(jiǎn)得，令，換元后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明，.

試題解析：

（1）由題意：，所以，解得，

故．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，且為增函數(shù)，．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，且，

故存在唯一使，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

又因?yàn)?/span>，所以時(shí)，為減函數(shù)，．．．．．．．．．．．．5分

綜上可知：時(shí)，為增函數(shù)；

時(shí)，為減函數(shù)．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）由，得，

所以，兩邊同除以，

得，令，則，

所以，得．．．．．．8分

因?yàn)?/span>，所以

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

令，則，

當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

所以，（也可以利用斜率），所以，

又，所以，故，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分