Question

【題目】已知橢圓C：的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)M(1，)．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知直線l不過點(diǎn)P(0，1)，與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，記直線PA、PB的斜率分別為k1、k2，且滿足k1＋k2＝1，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明詳見解析；該定點(diǎn)坐標(biāo)為．

【解析】

（1）由離心率為即，又，得，再由橢圓經(jīng)過點(diǎn)M(1，)，可求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè)，．設(shè)直線的方程為,由直線的方程與橢圓方程聯(lián)立解得點(diǎn)坐標(biāo)，同理解得點(diǎn)坐標(biāo),從而求出直線l的斜率，得出l方程，求出直線l所過的定點(diǎn).

解：（1）．設(shè)橢圓焦距為，則，又，得，

所以的方程化為，將代入有解得，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）．設(shè)，．設(shè)直線的方程為

由與橢圓方程聯(lián)立，得

化簡(jiǎn)得：

解得，，

同理，解得，．

所以直線的斜率為，

所以直線的方程為，

即 （*）．

取，得直線，

取，得直線，聯(lián)立兩直線解得交點(diǎn)，

經(jīng)檢驗(yàn)，符合方程（*），所以直線過定點(diǎn)．