Question

已知函數f(x)=log2

x+1

x-1

+log2(x-1)+log2(p-x)．
（1）求函數f （x）的定義域；．
（2）解關于x的不等式：f（x）＞log₂（2x²-2x-4）
（3）求函數f （x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根據對數的定義可知真數要大于0，建立關系式，求出交集即可求出函數f （x）的定義域；．
（2）先利用對數的運算性質進行化簡整理，然后建立方程，討論p的取值范圍，從而求出不等式的解集；
（3）討論真數所對應的二次函數的對稱軸，從而得到二次函數在定義域上的單調性，從而得到二次函數的值域，根據復合函數的值域求解方法可求出所求．

解答：解：（1）由

x+1 x-1 ＞0 x-1＞0 p-x＞0

?

x＞1或x＜-1 x＞1 x＜p

?

x＞1 x＜p

∵函數的定義域不能為空集，故p＞1，函數的定義域為（1，p）．
（2）若1＜P≤2，解集φ若P＞2，解集(2，

4+p

3

)
（3）f(x)=log2[

x+1

x-1

•(x-1)•(p-x)]=log2(x+1)(p-x)=log2[-x2+(p-1)x+p]
令t=-x2+(p-1)x+p=-(x-

p-1

2

)2+

(p+1)2

4

=g(x)
①當

p-1 2 ＜1 p＞1

，即1＜p＜3時，t在（1，p）上單調減，g（p）＜t＜g（1），即0＜t＜2p-2，
∴f（x）＜1+log₂（p-1），
函數f（x）的值域為（-∞，1+log₂（p-1））；
②當

1≤ p-1 2 ≤ p+1 2 p＞1

即p≥3時，g(p)＜t≤g(

p-1

2

)，
即0＜t≤

(p+1)2

4

∴f（x）≤2log₂（p+1）-2，函數f（x）的值域為（-∞，2log₂（p+1）-2）．
綜上：當1＜p＜3時，函數f（x）的值域為（-∞，1+log₂（p-1））；
當p≥3時，函數f（x）的值域為（-∞，2log₂（p+1）-2）

點評：本題主要考查了對數函數的定義域以及對數不等式，同時考查了利用單調性研究函數值域的方法，屬于中檔題．