Question

【題目】已知函數(shù).

(1)證明：當(dāng)， 時(shí)， ；

(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】試題分析：

(1)函數(shù)的解析式， ， ，據(jù)此討論可得在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則；

(2)否則函數(shù)，原問題等價(jià)于有兩個(gè)零點(diǎn)，且，據(jù)此分類討論：

若， 單調(diào)遞減， 至多有一個(gè)零點(diǎn)，

若， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

則，

則時(shí)， 在上必有一個(gè)零點(diǎn)，

結(jié)合(1)的結(jié)論在上必有一個(gè)零點(diǎn)，

綜上， 時(shí)，關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根.

試題解析：

(1) ， ， ，

∵，∴，∴在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，∴，

∴在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，∴；

(2)設(shè)，即有兩個(gè)零點(diǎn)， ，

若， ，得單調(diào)遞減，∴至多有一個(gè)零點(diǎn)，

若， ，得， ，得，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

故，即，∴，此時(shí)，即，

當(dāng)時(shí)， ，∴在上必有一個(gè)零點(diǎn)，

由(1)知當(dāng)時(shí)， ，即，

而，得，∴，故在上必有一個(gè)零點(diǎn)，

綜上， 時(shí)，關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根.