【題目】如圖，四棱錐的底面是正方形，側棱底面，，是的中點.

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）若點在線段（不包含端點）上，且直線平面，求線段的長.

【答案】（1）證明見解析（2）（3）

【解析】

（1）建立以為坐標原點，分別以所在直線為軸、軸、軸的空間直角坐標系，再標出點的坐標，利用空間向量的應用即可得證；

（2）求出平面的一個法向量，平面的一個法向量，再利用數(shù)量積公式求解即可；

（3）假設棱上存在點，使平面，由求解即可.

證明：（1）以為坐標原點，分別以所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，

設，則，，，

則，，，

設是平面的一個法向量，

則由，得，取，得.

，，

又平面，

平面.

（2）解：由（1）知是平面的一個法向量，

又是平面的一個法向量.

設二面角的平面角為，由圖可知，,

故二面角的平面角的余弦值為.

（3）假設棱上存在點，使平面，

設，

則，

，，，

由得，

解得，

，

則.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】條形碼是由一組規(guī)則排列的條、空及其對應的代碼組成，用來表示一定的信息，我們通常見的條形碼是“”通用代碼，它是由從左到右排列的個數(shù)字（用，，…，表示）組成，這些數(shù)字分別表示前綴部分、制造廠代碼、商品代碼和校驗碼，其中是校驗碼，用來校驗前個數(shù)字代碼的正確性．圖（1）是計算第位校驗碼的程序框圖，框圖中符號表示不超過的最大整數(shù)（例如）．現(xiàn)有一條形碼如圖（2）所示（），其中第個數(shù)被污損，那么這個被污損數(shù)字是（ ）

　　

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，梯形中，，矩形所在的平面與平面垂直，且.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若為線段上一點，直線與平面所成的角為，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下表是我省某地區(qū)2012年至2018年農村居民家庭年純收入（單位：萬元）的數(shù)據如下表：

年份

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

年份代號

1

2

3

4

5

6

7

年純收入

2

3

3.5

4

4.5

5

6

（1）求關于的線性回歸方程；

（2）利用（1）中的回歸方程，分析2012年至2018年該地區(qū)農村居民家庭年純收入的變化情況，并預測該地區(qū)2019年農村居民家庭年純收入（結果精確到0.1）。

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：，。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)（為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)）。

（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）若函數(shù)在內存在唯一極值點，求的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，記

（1）證明：有且僅有一個零點；

（2）記的零點為，，若在內有兩個不等實根，判斷與的大小，并給出對應的證明.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】“既要金山銀山，又要綠水青山”。某風景區(qū)在一個直徑為米的半圓形花圓中設計一條觀光線路。打算在半圓弧上任選一點（與不重合），沿修一條直線段小路，在路的兩側（注意是兩側）種植綠化帶；再沿弧修一條弧形小路，在小路的一側（注意是一側）種植綠化帶，小路與綠化帶的寬度忽略不計。

（1）設（弧度），將綠化帶的總長度表示為的函數(shù)；

（2）求綠化帶的總長度的最大值。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程是，曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）.

（1）求曲線，的直角坐標方程；

（2）設曲線，交于點，，已知點，求.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù),

（Ⅰ）若在上的最大值為，求實數(shù)b的值；

（Ⅱ）若對任意x∈[1，e]，都有恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，設，對任意給定的正實數(shù)a，曲線y=F（x）上是否存在兩點P、Q，使得△POQ是以O（O為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上？請說明理由．

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