Question

若

a

=(x2+1，p+2)，

b

=(3，x)，f(x)=

a

•

b

，f(x)在區(qū)間[-

1

2

，+∞)上是增函數(shù)，則方程f(x)+

x

-p=0有且只有一解時p的取值范圍是

p≥3

．

Answer 1

分析：由題意可得：f(x)=

a

•

b

=3x²+（p+2）x+3，結合題中條件可得：f（x）在[0，+∞）單調遞增，原方程等價于方程f(x)=p-

x

在[0，+∞）上只有一解，由f（x）≥3，所以p-

x

≥3在[0，+∞）上有解，進而求出p的數(shù)值．

解答：解：∵

a

=(x2+1，p+2)，

b

=(3，x)，
∴f(x)=

a

•

b

=3x²+（p+2）x+3，并且其對稱軸為：x=-

p+2

6

，
∵f（x）在區(qū)間[-

1

2

，+∞)上是增函數(shù)，
∴f（x）在[0，+∞）單調遞增，
∵方程f(x)+

x

-p=0有且只有一解
∴方程f(x)=p-

x

在[0，+∞）上只有一解，
∵f（x）≥3，
∴p-

x

≥3在[0，+∞）上有解，
∴p≥3．
故答案為：p≥3．

點評：本題主要考查二次函數(shù)的性質與冪函數(shù)的值域問題，以及考查方程的有解的知識點，此題綜合性較強屬于中檔題，考查學生的分析問題解決問題的能力．