Question

【題目】已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)．

（）求橢圓的方程．

（）若過點(diǎn)且斜率不為的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，已知直線與相交于點(diǎn)，試判斷點(diǎn)是否在定直線上？若是，請求出定直線的方程；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)；(2)點(diǎn)在定直線上.

【解析】

試題分析: （Ⅰ）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，一般方法為待定系數(shù)法，即根據(jù)條件建立關(guān)于的兩個(gè)獨(dú)立條件，再與聯(lián)立方程組，解出的值，（Ⅱ）先根據(jù)特殊直線或橢圓幾何性質(zhì)確定定直線，再根據(jù)條件證明點(diǎn)橫坐標(biāo)為1.由題意設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)坐標(biāo)表示點(diǎn)橫坐標(biāo).根據(jù)直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理得兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系（用直線斜率表示），并代入點(diǎn)橫坐標(biāo)表達(dá)式，化簡可得為定值.

試題解析: （Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，由題意可知：，即 ①

又因?yàn)闄E圓的離心率，即 ②

聯(lián)立方程①②可得：，則

所以橢圓的方程為．

（Ⅱ）方法一：根據(jù)橢圓的對(duì)稱性猜測點(diǎn)是與軸平行的直線上．

假設(shè)當(dāng)點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)點(diǎn) ，

則聯(lián)立直線和直線可得點(diǎn)

據(jù)此猜想點(diǎn)在直線上，下面對(duì)猜想給予證明：

設(shè)，聯(lián)立方程可得：

由韋達(dá)定理可得， （*）

因?yàn)橹本�，，

聯(lián)立兩直線方程得（其中為點(diǎn)的橫坐標(biāo)）即證：，

即，即證

將（*）代入上式可得

此式明顯成立，原命題得證．所以點(diǎn)在定直線上上．

方法二：設(shè)，兩兩不等，

因?yàn)?/span>三點(diǎn)共線，所以，

整理得：

又三點(diǎn)共線，有： ①

又三點(diǎn)共線，有： ② 將①與②兩式相除得：

即，

將即代入得：

解得（舍去）或，所以點(diǎn)在定直線上．

方法三：顯然與軸不垂直，設(shè)的方程為，.

由得.

設(shè)，兩兩不等，

則，，

由三點(diǎn)共線，有： ①

由三點(diǎn)共線，有： ②

①與②兩式相除得：

解得（舍去）或，所以點(diǎn)在定直線上．