如圖,四棱錐的底面是直角梯形,
,
,
和
是兩個(gè)邊長為
的正三角形,
,
為
的中點(diǎn),
為
的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面
;
(Ⅱ)求證:平面
;
(Ⅲ)求直線與平面
所成角的正弦值.
(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ) 詳見解析;(Ⅲ) 直線與平面
所成角的正弦值為
.
解析試題分析:(I)利用兩平面垂直的性質(zhì)定理,證明BC平面AEC,再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理證明AE
BC,根據(jù)勾股定理證明AE
EC,利用線面垂直的判定定理證明AE
平面BCEF;(II)三棱錐體積利用體積轉(zhuǎn)換為以E為頂點(diǎn),
為底面的椎體體積求得.等體積轉(zhuǎn)化,是立體幾何經(jīng)常運(yùn)用的一種方法,高考也考過.
試題解析:(Ⅰ)證明:設(shè)為
的中點(diǎn),連接
,則
,∵
,
,
,∴四邊形
為正方形,∵
為
的中點(diǎn),∴
為
的交點(diǎn),∵
,
,
∵,∴
,
,在三角形
中,
,∴
,∵
,∴
平面
;
(Ⅱ)方法1:連接,∵
為
的中點(diǎn),
為
中點(diǎn),∴
,∵
平面
,
平面
,∴
平面
.方法2:由(Ⅰ)知
平面
,又
,所以過
分別做
的平行線,以它們做
軸,以
為
軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,由已知得:
,
,
,
,
,
,則
,
,
,
.∴
∴
∵
平面
,
平面
,∴
平面
;
(Ⅲ) 設(shè)平面的法向量為
,直線
與平面
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(如圖1)在平面四邊形中,
為
中點(diǎn),
,
,且
,現(xiàn)沿
折起使
,得到立體圖形(如圖2),又B為平面ADC內(nèi)一點(diǎn),并且ABCD為正方形,設(shè)F,G,H分別為PB,EB,PC的中點(diǎn).
(1)求三棱錐的體積;
(2)在線段PC上是否存在一點(diǎn)M,使直線與直線
所成角為
?若存在,求出線段的長;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖所示,平面
,四邊形
是矩形,
,M,N分別是AB,PC的中點(diǎn),
(1)求平面和平面
所成二面角的大小,
(2)求證:平面
(3)當(dāng)的長度變化時(shí),求異面直線PC與AD所成角的可能范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,是矩形
中
邊上的點(diǎn),
為
邊的中點(diǎn),
,現(xiàn)將
沿
邊折至
位置,且平面
平面
.
⑴ 求證:平面平面
;
⑵ 求二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(12分)如圖,在長方體中,
,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求與平面
所成的角;
(Ⅱ)求二面角的平面角的正切值.
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