Question

【題目】在直角坐標系xOy中，直線l過點P (3， )且傾斜角為．在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為．
（Ⅰ）求直線l的一個參數方程和圓C的直角坐標方程；
（Ⅱ）設圓C與直線l交于點A，B，求的值.

（2）已知函數.

（Ⅰ）求函數的最小值；

（Ⅱ）若正實數滿足，且對任意的正實數恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（Ⅰ）直線l參數方程為 (t為參數),圓C的直角坐標方程為x2＋(y－)2＝5 （Ⅱ）|PA||PB|＝|t1t2|＝4（2）（Ⅰ）1（Ⅱ）

【解析】試題分析：

(1)(Ⅰ)利用轉化關系可得直線l參數方程為 (t為參數) ，圓的直角坐標方程為x2＋(y－)2＝5．

(Ⅱ)聯立直線與圓的方程，利用t的幾何意義可得|PA||PB|＝|t1t2|＝4.

(2)(Ⅰ)將函數零點分段可得函數的最小值為1；

(Ⅱ)由題意結合均值不等式的結論可得的取值范圍是.

試題解析：

（Ⅰ）直線l參數方程為 (t為參數)

由ρ＝2sin θ，得x2＋y2－2y＝0，
即x2＋(y－)2＝5．
（Ⅱ）將l的參數方程代入圓C的直角坐標方程，

由于Δ＝(－3)2－4×4＝2>0，故可設t1，t2是上述方程的兩實根，
所以
又直線l過點P(3，)，

故由上式及t的幾何意義|PA||PB|＝|t1t2|＝4
（2）解：（Ⅰ）由已知得，

可知函數的最小值等于1.　

（Ⅱ）由（1）知，所以當且僅當時取等號.

即

解得：