Question

【題目】四面體ABCD的每個頂點都在球O的表面上,AB是球O的一條直徑,且AC=2,BC=4,現有下面四個結論:

①球O的表面積為20π;②AC上存在一點M,使得AD∥BM;

③若AD=3,則BD=4;④四面體ABCD體積的最大值為.

其中所有正確結論的編號是( )

A.①②B.②④C.①④D.①③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

由AC=2,BC=4可求得直徑為AB=2，從而可判斷①③；由AD與平面ABC相交可判斷②；由D到平面ABC的距離的最大值為球的半徑可判斷④.

因為AB是球O的一條直徑,所以AC⊥BC,AD⊥BD,所以AB=2.

若AD=3，則BD=,③錯；

球的半徑為,球O的表面積為4π×()2=20π ，①對；

因為AD與平面ABC相交,所以AC上找不到一點M,使得AD∥BM.，②錯；

因為D到平面ABC的距離的最大值為球的半徑,所以四面體ABCD體積的最大值為

××2×4×=.④對，

即所有正確結論的編號是①④.

故選：C.