Question

【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為8的菱形，，是等邊三角形，二面角的余弦值為.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求直線與平面夾角的正弦值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見證明(Ⅱ)

【解析】

（Ⅰ）通過幾何關(guān)系得到平面進(jìn)而得到異面直線垂直；（Ⅱ）建立空間坐標(biāo)系得到直線的方向向量和面的法向量，進(jìn)而得到線面角.

（Ⅰ）連接交于點(diǎn)O.

因?yàn)樗倪呅?/span>是菱形，所以，且和互相平分.

又因?yàn)?/span>，O為的中點(diǎn)，所以，

又因?yàn)?/span>，所以平面.

因?yàn)?/span>平面，所以.

（Ⅱ）過點(diǎn)作交點(diǎn)為，因?yàn)?/span>平面，所以，

因?yàn)?/span>，所以平面.

易知為二面角的平面角，所以，.

又因?yàn)?/span>，所以和都是邊長(zhǎng)為8的等邊三角形.

所以，則，.

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，.

所以，，.

設(shè)平面的法向量為，則，

即，則.

所以，

所以直線與平面夾角的正弦值為.