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【題目】在三棱錐A-BCD中,平面ABC丄平面ADC, ADAC,AD=AC, ,若此三棱錐的外接球表面積為,則三棱錐A-BCD體積的最大值為(

A.7B.12C.6D.

【答案】C

【解析】

設三棱錐ABCD外接球的半徑為R,三棱錐的外接球球心為O,△ABC的外心為O1,△ABC的外接圓半徑為r,取DC的中點為O2,過O2O2EAC,則OO1⊥平面ABC,OO2⊥平面ADC,連結OA,O1A,則O1Ar,設ADACb,則OO1O2Eb,由S4πR228π,解得R,由正弦正理求出b,若三棱錐ABCD的體積最大,則只需△ABC的面積最大,由此能求出三棱錐ABCD的體積的最大值.

根據題意,設三棱錐ABCD外接球的半徑為R

三棱錐的外接球球心為O,

ABC的外心為O1,△ABC的外接圓半徑為r

DC的中點為O2,過O2O2EAC

OO1⊥平面ABC,OO2⊥平面ADC,

如圖,連結OA,O1A,則O1Ar,

ADACb,則OO1O2Eb,

S4πR228π,解得R,

在△ABC中,由正弦正理得2r,

2r,解得b,

RtOAO1中,7r2+2,解得r2,b2,∴AC2,

若三棱錐ABCD的體積最大,則只需△ABC的面積最大,

在△ABC中,AC2AB2+BC22ABBCcosABC

12AB2+BC2ABBC≥2ABBCABBC,

解得ABBC≤12

3,

∴三棱錐ABCD的體積的最大值:

6

故選:C

練習冊系列答案
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