Question

【題目】全體非負整數(shù)0，1，2，…，按其自然順序組成一個小數(shù) 456 789 101 112 131 415 161 718 19 ….問：是否為無理數(shù)？證明你的結論.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

是無理數(shù).

首先，由自然數(shù)有無窮多知為無限小數(shù)，只須正明其不是循環(huán)小數(shù)（用反證法）.

若不然，設為有理數(shù)，即為無限循環(huán)小數(shù)，記是第1個最短循環(huán)節(jié)，而這個循環(huán)節(jié)之前是一個位小數(shù)0.，有.

由的構成，知，且，，…，不全相等.特別地，，，…，不能全是9.

現(xiàn)將循環(huán)節(jié)接長，使其數(shù)碼的個數(shù)超過，即取，找出由個循環(huán)節(jié)組成的自然數(shù)，并在中找出的原始位置.

由，知該位置一定出現(xiàn)在的后面，即.

考慮的后繼自然數(shù).

一方面，由中的各個數(shù)碼不全為9，知仍由個數(shù)碼組成，即

，

無論是否進位，個位數(shù)都不會等于.

另一方面，由循環(huán)小數(shù)知的后面個數(shù)不變，產(chǎn)生矛盾：.

所以，必為無理數(shù).