Question

【題目】過(guò)拋物線的一條弦的中點(diǎn)作平行于拋物線對(duì)稱軸的平行線（或與對(duì)稱軸重合），交拋物線于一點(diǎn)，稱以該點(diǎn)及弦的端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為這條弦的阿基米德三角形（簡(jiǎn)稱阿氏三角形）.

現(xiàn)有拋物線:，直線：（其中，，是常數(shù)，且），直線交拋物線于，兩點(diǎn)，設(shè)弦的阿氏三角形是.

（1）指出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

（2）求的面積（用，，表示）；

（3）稱的阿氏為一階的；、的阿氏、為二階的；、、、的阿氏三角形為三階的；……，由此進(jìn)行下去，記所有的階阿氏三角形的面積之和為，探索與之間的關(guān)系，并求.

Answer 1

【答案】（1）焦點(diǎn)坐標(biāo)：，準(zhǔn)線方程：；（2）；（3），

【解析】

（1）將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程后即可求得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

（2）將直線方程代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理可求得，根據(jù)可整理得到，代入整理可得結(jié)果；

（3）由（2）知，繼續(xù)求解阿氏三角形面積可知，進(jìn)而分析得到；可知為無(wú)窮等比數(shù)列，利用無(wú)窮等比數(shù)列前項(xiàng)和的極限的求法可求得結(jié)果.

（1）由得：

拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為：

（2）將代入拋物線方程得：，則

設(shè)，

則中點(diǎn)，

又，

（3）設(shè)是拋物線上的任意一條弦，由（2）知

設(shè)弦、的阿氏三角形依次為，

上述討論表明，階中的每一個(gè)阿氏三角形都可以生成階中的兩個(gè)阿氏三角形，且后者的面積之和是前者面積的

階中的個(gè)阿氏三角形面積之和與階中的個(gè)阿氏三角形面積之和滿足

是首先為，公比為的無(wú)窮等比數(shù)列