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【題目】已知函數， （為常數）.

(Ⅰ) 函數的圖象在點處的切線與函數的圖象相切，求實數的值；

(Ⅱ) 若， ，且，都有成立，求實數的值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）利用導數求出函數的圖象在點處的切線方程，再由直線與函數的圖象相切的關系，聯立方程組求出的值；(Ⅱ)依題意不妨設，根據對數函數及二次函數的性質可判斷及的單調性，可把等價轉化為，等價于，再構造函數，即等價于 在區(qū)間上是增函數，利用導數與函數單調性的關系，結合不等式恒成立的條件，即可求得實數的值.

試題解析：（Ⅰ）∵

∴，則

∴函數的圖象在點處的切線方程為，

由得.

由，得.（還可以通過導數來求）

(Ⅱ)不妨設，

∵函數在區(qū)間上是增函數，

∴，

∵函數圖象的對稱軸為，且.

∴當時，函數在區(qū)間上是減函數，

∴，

∴，

等價于，

即，

等價于 在區(qū)間上是增函數，

等價于在區(qū)間上恒成立，

等價于在區(qū)間上恒成立

∴

又∵

∴

點睛: 本題主要考查導數的應用,包括導數的幾何意義,導數與單調性,屬于中檔題.本題在第2問中注意解題思想:等價轉換,將原不等式轉化為求在上為增函數,等價于在區(qū)間上恒成立,分離出,轉化為求在上的最小值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數， （），且曲線在點處的切線方程為．

（1）求實數的值及函數的最大值；

（2）當時，記函數的最小值為，求的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在極坐標系中，點M的坐標為，曲線C的方程為；以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，斜率為的直線l經過點M．

(I)求直線l和曲線C的直角坐標方程：

(II)若P為曲線C上任意一點，直線l和曲線C相交于A，B兩點，求△PAB面積的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點為，拋物線上存在一點 到焦點的距離等于．

（1）求拋物線的方程；

（2）過點的直線與拋物線相交于，兩點（，兩點在軸上方），點關于軸的對稱點為，且，求△的外接圓的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2，P為橢圓上一點（在x軸上方），連結PF1并延長交橢圓于另一點Q，設＝λ．

（1）若點P的坐標為（1，），且△PQF2的周長為8，求橢圓C的方程；

（2）若PF2垂直于x軸，且橢圓C的離心率e∈[，]，求實數λ的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數， .

（1）求函數的單調區(qū)間；

（2）若不等式區(qū)間上恒成立，求實數的取值范圍；

（3）求證：

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的右焦點為，右頂點為，離心離為，點滿足條件．

（Ⅰ）求的值．

（Ⅱ）設過點的直線與橢圓相交于、兩點，記和的面積分別為、，求證： ．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設是定義在D上的函數,若對D中的任意兩數),恒有,則稱為定義在D上的C函數.

(1)試判斷函數是否為定義域上的C函數,并說明理由;

(2)若函數是R上的奇函數,試證明不是R上的C函數;

(3)設是定義在D上的函數,若對任何實數以及D中的任意兩數),恒有,則稱為定義在D上的π函數. 已知是R上的π函數,m是給定的正整數,設,且,記. 對于滿足條件的任意函數,試求的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，以為極點， 軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為， 是曲線與直線： （）的交點（異于原點）．

（1）寫出， 的直角坐標方程；

（2）求過點和直線垂直的直線的極坐標方程．

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